Рассмотрим, как решить в двух других случаях дифференциальные уравнения, вида:
либо в другой форме записи
В этих случаях эти уравнения сводятся уже не однородным дифференциальным уравнениям, а к уравнениям с разделяющимися переменными.
II.Если
В этом случае делаем замену
которая приводит нас к уравнению с разделяющимися переменными.
(Можно сделать замену
или
или
— берем, что удобнее.)
Примеры:
Решить уравнения:
Замена z=x+y (здесь она удобнее, чем z=-3x-3y). Тогда y=z-x, dy=dz-dx.Подставляем:
Обе части умножаем на (1+z)dx и делим на (1-z):
В левой части уравнения — неправильная дробь.
Необходимо выделить целую часть. Для этого можно, например, поделить числитель на знаменатель (уголком). А можно преобразовать числитель так, чтобы в нем появился знаменатель:
Теперь интегрируем обе части:
Отсюда
Вместо С здесь удобнее взять -С — чтобы после упрощения минусов было поменьше. Теперь умножим обе части на (-1), вот этот минус перед С и уйдет:
Поскольку z=x+y. возвращаемся к исходным переменным и упрощаем:
Можно еще 2, стоящую перед логарифмом, отправить в показатель степени. При этом знак модуля можно снять — ведь выражение в квадрате неотрицательно:
2) (2x+3y-1)dx+(4x+6y-5)dy=0
Решение:
Замена 2x+3y-1=z, тогда 4x+6y-5=2(2x+3y-1)-3=2z-3. Отсюда dz/dx=2·1+3·dy/dx-0, значит dz/dx=2+3·dy/dx. Умножим обе части на dx: dz=2dx+3dy. Отсюда выражаем dy:
Полученные выражения подставляем в уравнение:
умножаем обе части уравнения на 3:
Получили уравнение с разделяющимися переменными. Разделяем переменные:
(2z-3)dz=(z-6)dx. Делим обе части на z-6≠0, отсюда z≠6. Имеем:
Интегрируем:
В левой части — неправильная дробь. Необходимо выделить целую часть:
Отсюда
Обратная замена: 2x+3y-1=z
Раскрываем скобки, x переносим в левую часть, упрощаем:
Можно разделить на 3 обе части:
Отсюда
Обозначим
отсюда получаем общий интеграл решения:
III. Если
В этом случае переменные можно разделить.
Пример:
(x-y+2)dx+(2x-2y+4)dy=0;
(x-y+2)dx+2(x-y+2)dy=0;
2(x-y+2)dy=-(x-y+2)dx. Делим обе части на (x-y+2)≠0, отсюда y≠x+2:
2dy=-dx. Интегрируем обе части:
2y=-x+C; 2y-x=С.
Если x-y+2=0, то подставив это выражение в условие, получаем:
0·dx+2·0dy=0. Верное равенство, следовательно y=x+2 — тоже решение.
Ответ: 2y-x=С, y=x+2.