Уравнения, приводящиеся к уравнениям с разделяющимися переменными

Рассмотрим, как решить в двух других случаях дифференциальные уравнения,  вида: 

    \[y' = f(\frac{{{a_1}x + {b_1}y + {c_1}}}{{{a_2}x + {b_2}y + {c_2}}})\]

либо в другой форме записи

    \[({a_1}x + {b_1}y + {c_1})dx + ({a_2}x + {b_2}y + {c_2}) = 0.\]

В этих случаях эти уравнения сводятся уже не однородным дифференциальным уравнениям, а к уравнениям с разделяющимися переменными.

II.Если

    \[\frac{{{a_1}}}{{{a_2}}} = \frac{{{b_1}}}{{{b_2}}} \ne \frac{{{c_1}}}{{{c_2}}}.\]

В этом случае делаем замену

    \[z = {a_1}x + {b_1}y,\]

которая приводит нас к уравнению с разделяющимися переменными.

(Можно сделать замену

    \[z = {a_2}x + {b_2}y,\]

или 

    \[z = {a_1}x + {b_1}y + {c_1}\]

или 

    \[z = {a_2}x + {b_2}y + {c_2}\]

— берем, что удобнее.)

Примеры:

Решить уравнения:

    \[1)y' = \frac{{1 - 3x - 3y}}{{1 + x + y}}.\]

    \[{a_1} =  - 3,{b_1} =  - 3,{c_1} = 1,{a_2} = 1,{b_2} = 1,{c_2} = 1, \Rightarrow \frac{{{a_1}}}{{{a_2}}} = \frac{{{b_1}}}{{{b_2}}} \ne \frac{{{c_1}}}{{{c_2}}}\]

Замена z=x+y (здесь она удобнее, чем z=-3x-3y). Тогда y=z-x, dy=dz-dx.Подставляем:

    \[\frac{{dz - dx}}{{dx}} = \frac{{1 - 3z}}{{1 + z}}, \Rightarrow \frac{{dz}}{{dx}} - \frac{{dx}}{{dx}} = \frac{{1 - 3z}}{{1 + z}}, \Rightarrow \frac{{dz}}{{dx}} = \frac{{1 - 3z}}{{1 + z}} + 1, \Rightarrow \]

    \[\frac{{dz}}{{dx}} = \frac{{1 - 3z + 1 + z}}{{1 + z}}, \Rightarrow \frac{{dz}}{{dx}} = \frac{{2 - 2z}}{{1 + z}}, \Rightarrow \frac{{dz}}{{dx}} = 2\frac{{1 - z}}{{1 + z}},\]

Обе части умножаем на (1+z)dx и делим на (1-z):

    \[\frac{{1 + z}}{{1 - z}}dz = 2dx\]

В левой части уравнения — неправильная дробь.

Необходимо выделить целую часть. Для этого можно, например, поделить числитель на знаменатель (уголком). А можно преобразовать числитель так, чтобы в нем появился знаменатель:

    \[ - \frac{{ - 1 - z}}{{1 - z}}dz = 2dx, \Rightarrow  - \frac{{1 - z - 1 - 1}}{{1 - z}}dz = 2dx, \Rightarrow \]

    \[( - 1 + \frac{2}{{1 - z}})dz = 2dx, \Rightarrow  - dz + \frac{2}{{1 - z}}dz = 2dx\]

Теперь интегрируем обе части:

    \[ - \int {dz}  + 2\int {\frac{{dz}}{{1 - z}}}  = 2\int {dx} \]

Отсюда

    \[ - z - 2\ln \left| {1 - z} \right| = 2x - C\]

Вместо С здесь удобнее взять -С — чтобы после упрощения минусов было поменьше. Теперь умножим обе части на (-1), вот этот минус перед С и уйдет:

    \[z + 2\ln \left| {1 - z} \right| =  - 2x + C, \Rightarrow z + 2\ln \left| {1 - z} \right| + 2x = C,\]

Поскольку z=x+y. возвращаемся к исходным переменным и упрощаем:

    \[x + y + 2\ln \left| {1 - (x + y)} \right| + 2x = C,\]

    \[3x + y + 2\ln \left| {1 - x - y)} \right| = C.\]

Можно еще 2, стоящую перед логарифмом, отправить в показатель степени. При этом знак модуля можно снять — ведь выражение в квадрате неотрицательно:

    \[3x + y + \ln {(1 - x - y)^2} = C.\]

2) (2x+3y-1)dx+(4x+6y-5)dy=0

Решение:

    \[\frac{2}{4} = \frac{3}{6} \ne \frac{{ - 1}}{{ - 5}}\]

Замена 2x+3y-1=z, тогда 4x+6y-5=2(2x+3y-1)-3=2z-3. Отсюда dz/dx=2·1+3·dy/dx-0, значит dz/dx=2+3·dy/dx. Умножим обе части на dx: dz=2dx+3dy. Отсюда выражаем dy:

    \[dy = \frac{{dz - 2dx}}{3}.\]

Полученные выражения подставляем в уравнение:

    \[zdx + (2z - 3)\frac{{dz - 2dx}}{3} = 0,\]

умножаем обе части уравнения на 3:

    \[3zdx + (2z - 3)(dz - 2dx) = 0,\]

    \[3zdx + 2zdz - 3dz - 4dx + 6dx = 0\]

    \[(2z - 3)dz - (z - 6)dx = 0\]

Получили уравнение с разделяющимися переменными. Разделяем переменные:

(2z-3)dz=(z-6)dx. Делим обе части на z-6≠0, отсюда z≠6. Имеем:

    \[\frac{{(2z - 3)dz}}{{z - 6}} = dx\]

Интегрируем:

    \[\int {\frac{{(2z - 3)dz}}{{z - 6}} = \int {dx.} } \]

В левой части — неправильная дробь. Необходимо выделить целую часть:

    \[\int {\frac{{(2(z - 6) + 13 - 3)dz}}{{z - 6}}}  = \int {dx,} \]

    \[2\int {dz + 9\int {\frac{{dz}}{{z - 6}}} }  = \int {dx,} \]

Отсюда

    \[2z + 9\ln \left| {z - 6} \right| = x + C\]

Обратная замена: 2x+3y-1=z

    \[2(2x + 3y - 1) + 9\ln \left| {2x + 3y - 1 - 6} \right| = x + C\]

Раскрываем скобки, x переносим в левую часть, упрощаем:

    \[4x - x + 6y - 2 + 9\ln \left| {2x + 3y - 7} \right| = C,\]

    \[3x + 6y - 2 + 9\ln \left| {2x + 3y - 7} \right| = C,\]

Можно разделить на 3 обе части:

    \[x + 2y - \frac{2}{3} + 3\ln \left| {2x + 3y - 7} \right| = \frac{C}{3}\]

Отсюда

    \[x + 2y + 3\ln \left| {2x + 3y - 7} \right| = \frac{C}{3} + \frac{2}{3}.\]

Обозначим

    \[\frac{C}{3} + \frac{2}{3} = {C_{1,}}\]

отсюда получаем общий интеграл решения:

    \[x + 2y + 3\ln \left| {2x + 3y - 7} \right| = {C_1}.\]

III. Если

    \[\frac{{{a_1}}}{{{a_2}}} = \frac{{{b_1}}}{{{b_2}}} = \frac{{{c_1}}}{{{c_2}}}.\]

В этом случае переменные  можно разделить.

Пример:

(x-y+2)dx+(2x-2y+4)dy=0;

(x-y+2)dx+2(x-y+2)dy=0;

2(x-y+2)dy=-(x-y+2)dx. Делим обе части на (x-y+2)≠0, отсюда y≠x+2:

2dy=-dx. Интегрируем обе части:

    \[2\int {dy =  - \int {dx} } \]

2y=-x+C; 2y-x=С.

Если x-y+2=0, то подставив это выражение в условие, получаем:

0·dx+2·0dy=0. Верное равенство, следовательно y=x+2 — тоже решение.

Ответ: 2y-x=С, y=x+2.

 

 

 

 

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Можно использовать следующие HTML-теги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>