Найти производную неявно заданной функции

Неявная функция — это функция у от аргумента x, заданная уравнением F(x;y)=0,  не разрешенным относительно y. 

Чтобы найти производную неявно заданной функции:

1. Находим производную по x от левой части уравнения F(x;y)=0, с учетом того, что у — функция от x;

2. Полученное выражение приравниваем к нулю и решаем как уравнение относительно y’, то есть выражаем y’ через y и x.

Примеры. Найти производную неявно заданной функции:

1) x³+xy²+y³=0.

1. Это — неявная функция. Находим производную по x левой части равенства с учетом того, что y — функция от x:

(x³+xy²+y³)’=3x²+x’·y²+(y²)’·x+3y²·y’=3x²+y²+2y·y’·x+3y²·y’

2. Полученное выражение приравниваем к нулю и из него находим y':

3x²+y²+2y·y’·x+3y²·y’=0

3x²+y²+y'(2xy+3y²)=0

y'(2xy+3y²)=-3x²-y²

    \[y' = \frac{{ - 3{x^2} - {y^2}}}{{2xy + 3{y^2}}}.\]

2) siny=xy

1. Приводим зависимость к виду F(x;y)=0. Для этого переносим все слагаемые в левую часть: siny-xy=0. Теперь находим производную по x от левой части (не забывая о том, что y — функция от x):

(siny-xy)’=cosy-(x’·y+y’·x)=cosy-y-xy’.

2. Полученное выражение приравниваем к 0 и находим y':

cosy-y-xy’=0

xy’=cosy-y

    \[y' = \frac{{\cos y - y}}{x}.\]

    \[3)\ln y + {e^{xy}} = C\]

1. Приводим выражение к виду F(x;y)=0:

    \[\ln y + {e^{xy}} - C = 0\]

Теперь находим производную по x левой части (y=y(x)!):

    \[(\ln y + {e^{xy}} - C)' = \frac{1}{y} \cdot y' + {e^{xy}} \cdot (xy)' - 0 = \]

    \[ = \frac{1}{y} \cdot y' + {e^{xy}} \cdot (x'y + y'x) = \frac{1}{y} \cdot y' + {e^{xy}} \cdot (y + xy') = \]

    \[ = \frac{1}{y} \cdot y' + y{e^{xy}} + xy'{e^{xy}} = y'(\frac{1}{y} + x{e^{xy}}) + y{e^{xy}}\]

2. Приравниваем получившееся выражение к нулю и решаем уравнение относительно y':

    \[y'(\frac{1}{y} + x{e^{xy}}) =  - y{e^{xy}}\]

    \[y' = \frac{{ - y{e^{xy}}}}{{\frac{1}{y} + x{e^{xy}}}}\]

    \[y' = \frac{{ - y{e^{xy}}}}{{\frac{{1 + xy{e^{xy}}}}{y}}}\]

    \[y' = \frac{{ - {y^2}{e^{xy}}}}{{1 + xy{e^{xy}}}}.\]

Примеры для самопроверки. Найти производную неявно заданной функции:

1) xy²+x²y=5;

2) arctg(x+y)=y.

Показать решение

 

2 Comments

  1. dorson:

    Спасибо. В 1-м примере самопроверки пропущен у^2

    1. admin:

      Спасибо! Исправила.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Можно использовать следующие HTML-теги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>