Как решать уравнения, приводимые к уравнениям с разделяющимися переменными

Рассмотрим, как решать уравнения вида y’=f(ax+by+c), где a,b,c — некоторые числа. Это — дифференциальные уравнения, приводимые к уравнениям с разделяющимися переменными.

Такие уравнения приводятся к уравнениям с разделяющимися переменными с помощью замены z=ax+by+c. Дифференцируем обе части этого равенства по иксу:

    \[\frac{{dz}}{{dx}} = (ax + by + c){'_x}\]

Поскольку x’=1, а так как y’=f(ax+by+c), то  y’=f(z).

Соответственно, получаем, что

    \[\frac{{dz}}{{dx}} = a \cdot 1 + b \cdot y' + 0, \Rightarrow \frac{{dz}}{{dx}} = a + bf(z)\]

При условии a+bf(z)≠0 переменные можем разделить:

    \[\frac{{dz}}{{a + bf(z)}} = dx\]

Интегрируем полученное уравнение

    \[\int {\frac{{dz}}{{a + bf(z)}} = \int {dx} } \]

В полученном решении возвращаемся к исходным переменным z=ax+by+c.

Если a+bf(z)=0, то значит, и dz/dx=0, то ax+by+c=С.

Пример

Решить уравнение y’=(x+y+1)².

Решение: Замена z=x+y+1. Тогда dz/dx=1+dy/dx,  а так как dy/dx=y’=(x+y+1)²=z², то dz/dx=1+z². Разделяем переменные, для этого обе части делим на 1+z² (это выражение не равно нулю при любом z) и умножаем на dx:

    \[\frac{{dz}}{{1 + {z^2}}} = dx\]

Интегрируем уравнение:

    \[\int {\frac{{dz}}{{1 + {z^2}}} = \int {dx} } \]

откуда

arctgz=x+C. Так как z=x+y+1, то общее решение arctg(x+y+1)=x+C, откуда arctg(x+y+1)-x=C.

 

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Можно использовать следующие HTML-теги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>