Производная суммы | Математика

Производная суммы и разности функций берется по правилу (u±v)’=u’±v’. Если слагаемые — табличные функции, найти производную суммы несложно, гораздо легче, чем производную произведения или производную частного. Начнем с рассмотрения именно таких примеров, а более сложные задания разберем позже.

Таблицу производных можно посмотреть здесь.

Найти производные суммы и разности функций:

1) y=10x³+12x-4cosx+8.

y’=(10x³+12x-4cosx+8)’=

Поскольку производная суммы и разности равна сумме и разности производных, при нахождении производной суммы ищем отдельно производную каждого слагаемого:

=(10x³)’+(12x)’-(4cosx)’+8’=

Так как число выносится за знак производной, то в тех слагаемых, где перед функцией стоит числовой множитель, этот числовой множитель выносим за знак производной, то есть просто переписываем. Если слагаемое состоит только из числа, то его производная равна нулю: С’=0:

=10·(x³)’+12·x’+4·(c0sx)’+8’=

Теперь производную каждого слагаемого находим по таблице производных:

=10·3x² +12·1+4·(-sinx)+0=30x² +12-4sinx.

Если среди слагаемых встречаются степени, для их дифференцирования используется соответствующее правило для нахождения производной степени.

$2)y = 4{x^{12}} - 6\sqrt x + \frac{7}{x} + 3ctgx.$

$y' = (4{x^{12}} - 6\sqrt x + \frac{7}{x} + 3ctgx)' =$

$= 4 \cdot ({x^{12}})' - 6 \cdot (\sqrt x )' + 7 \cdot (\frac{1}{x})' + 3 \cdot (ctgx)' =$

$= 4 \cdot 12{x^{11}} - 6 \cdot \frac{1}{{2\sqrt x }} + 7 \cdot ( - \frac{1}{{{x^2}}}) + 3 \cdot ( - \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}) =$

$= 48{x^{11}} - \frac{3}{{\sqrt x }} - \frac{7}{{{x^2}}} - \frac{3}{{{{\sin }^2}x}}.$

Так подробно примеры расписывают только в самом начале нахождения производной суммы и разности. В дальнейшем при нахождении производной суммы мы не будем каждое слагаемое заключать в скобки и ставить над ними штрих. Этот этап пропускается. Просто переписываем числовые множители, стоящие перед каждым слагаемым, а производную каждого слагаемого находим с помощью таблицы производных. Так как производная числа равна нулю, обычно при нахождении производных этот нуль тоже не пишут.

$3)y = 8tgx - 12{x^5} + 3 \cdot {4^x} - 7\ln x$

$y' = 8 \cdot \frac{1}{{{{\cos }^2}x}} - 12 \cdot 5{x^4} + 3 \cdot {4^x} \cdot \ln 4 - 7 \cdot \frac{1}{x} =$

$= \frac{8}{{{{\cos }^2}x}} - 60{x^4} + 3 \cdot \ln 4 \cdot {4^x} - \frac{7}{x};$

$4)y = 5arctgx - 11{e^x} + \frac{6}{{\sqrt[9]{{{x^7}}}}} + 32x - 8$

Прежде чем искать производную корня, его необходимо записать в виде степени (подробнее — здесь):

$y = 5arctgx - 11{e^x} + 6 \cdot {x^{ - \frac{7}{9}}} + 32x - 8$

Теперь ищем производную суммы:

$y' = 5 \cdot \frac{1}{{1 + {x^2}}} - 11{e^x} + 6 \cdot ( - \frac{7}{9}{x^{ - \frac{7}{9} - 1}}) + 32 =$

$= \frac{5}{{1 + {x^2}}} - 11{e^x} - \frac{{14}}{3}{x^{ - \frac{{16}}{9}}} + 32 =$

$= \frac{5}{{1 + {x^2}}} - 11{e^x} - \frac{{14}}{{3{x^{\frac{{16}}{9}}}}} + 32 = \frac{5}{{1 + {x^2}}} - 11{e^x} - \frac{{14}}{{3\sqrt[9]{{{x^{16}}}}}} + 32.$

Мы рассмотрели самые простые примеры на производную суммы и разности. В свою очередь, производная каждого слагаемого может находиться как производная произведения, частного или производная сложной функции. Поэтому более сложные примеры мы рассмотрим позже, после того, как разберемся с другими правилами дифференцирования функций.

Упражнения для самопроверки: найти производные суммы и разности функций:

$1)y = 4{x^{21}} - 3\sin x + 10\sqrt x - 23x;2)y = \frac{8}{{{x^3}}} + 9\ln x - 27.$