Производная произведения находится по формуле (uv)’=u’v+v’u. Если множители — табличные функции, взять производную достаточно просто. Конкретные примеры на производную произведения с подробным объяснением — лучший способ разобраться, как вычисляется производная произведения.
Начнем с рассмотрения несложных заданий, в которых каждый множитель — функция из таблицы производных или степенная функция. В таких примерах перемножаются две функции. Все, что стоит до знака умножения — это u, все, что после — v. Остается записать формулу, найти каждую производную, и упростить. Правда, знак умножения в записи функции присутствует не всегда. Знак умножения перед скобкой и перед буквой обычно не пишут. Таким образом, если нам нужно найти производную некоторой функции, сначала определяем — а не произведение ли функций это? Если один из множителей — число, то производную находят по правилу: число выносится за знак производной: (Cu)’=Cu’. Например, (10x³)’=10·3x²=30x², или (4cosx)’=4·(-sinx)=-4sinx. А если оба множителя — функции, вот тогда это — производная произведения.
Итак, примеры. Найти производную произведения функций:
1) y=3x²·2sinx.
Все, что стоит до знака умножения — это u, значит, здесь u=3x². Все, что стоит после знака умножения — это v, соответственно, v=2sinx. Теперь действуем по правилу (uv)’=u’v+v’u: y’=(3x²·2sinx)’=( 3x²)’·2sinx+(2sinx)’·3x²=3·2x·2sinx+2·cosx·3x²=12x·sinx+6x²·cosx=
а так как знак умножения перед буквой и перед скобкой обычно не пишут, то получаем:
=12xsinx+6x²cosx
Следующий момент. Производная — это инструмент для исследования функции. Чтобы понять, как ведет себя функция, нужны x, в которых она обращается в нуль. Поэтому принято выносить общий множитель, если он есть, за знак производной (чтобы потом легче было приравнивать к нулю). Впрочем, это не обязательно. Вынести общий множитель можно уже на этапе нахождения нулей производной. Но если преподаватель требует, чтобы решение было оформлено именно таким образом, то тогда делаем еще один шаг:
=6x(2sinx+3xcosx).
2) y=7cosx(5x³-4x+8).
Здесь перед скобкой знак умножения не стоит, но подразумевается. Соответственно, u=7cosx, v=5x³-4x+8. Теперь находим производную произведения по правилу:
y’=(7cosx)'(5x³-4x+8)+(5x³-4x+8)’·7cosx=
v=5x³-4x+8. Это — сумма функций. Как находить производную суммы и разности, мы уже знаем.
=7·(-sinx)(5x³-4x+8)+(5·3x²-4)·7cosx=-7sinx(5x³-4x+8)+7(5·3x²-4)cosx. Здесь есть общий множитель 7, но смысла выносить его за скобки нет.
Опять таки, знак умножения не стоит, но подразумевается. Определяем u и v и находим производную произведения:
Приводим дроби к общему знаменателю
Определяем u и v, далее — производная произведения:
Примеры для самопроверки. Найти производную произведения:
В более сложных примерах с производной произведения каждый множитель, в свою очередь, может быть сложной функцией, или произведением функций, или частным функций. Такие примеры мы рассмотрим чуть позже.