пределы на неопределенность 0 на 0

Рассмотрим примеры, в которых, чтобы найти пределы функций, надо раскрыть неопределенность вида 0 на 0.

$1)\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{3{x^2} - 12}}{{8 - {x^3}}} = \left[ {\frac{0}{0}} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{3({x^2} - 4)}}{{(2 - x)(4 + 2x + {x^2})}} =$

$= \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{3(x - 2)(x + 2)}}{{ - (x - 2)(4 + 2x + {x^2})}} = - \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{3(x + 2)}}{{4 + 2x + {x^2}}} =$

$= - \frac{{3(2 + 2)}}{{4 + 4 + 4}} = - 1$

$2)\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{1}{3}} \frac{{3{x^2} - 7x + 2}}{{6x - 2}} = \left[ {\frac{0}{0}} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{1}{3}} \frac{{3(x - \frac{1}{3})(x - 2)}}{{2(3x - 1)}} =$

$= \mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{1}{3}} \frac{{(3x - 1)(x - 2)}}{{2(3x - 1)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{1}{3}} \frac{{x - 2}}{2} = \frac{{\frac{1}{3} - 2}}{2} = - \frac{5}{6}$

$3{x^2} - 7x + 2 = 0;{x_1} = \frac{1}{3},{x_2} = 2;$

$\to 3{x^2} - 7x + 2 = 3(x - \frac{1}{3})(x - 2)$

$3)\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \frac{{{x^3} + 3x + 4}}{{{x^2} - x - 2}} = \left[ {\frac{0}{0}} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \frac{{({x^3} + 1) + (3x + 3)}}{{(x - 2)(x + 1)}} =$

$= \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \frac{{(x + 1)({x^2} - x + 1) + 3(x + 1)}}{{(x - 2)x + 1)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \frac{{(x + 1)({x^2} - x + 4)}}{{(x - 2)(x + 1)}} =$

$= \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \frac{{{x^2} - x + 4}}{{x - 2}} = \frac{{1 + 1 + 4}}{{ - 1 - 2}} = - 2$

$4)\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} = \frac{{4{x^2} - 5x + 1}}{{3{x^2} - x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{4(x - 1)(x - \frac{1}{4})}}{{3(x - 1)(x + \frac{2}{3})}} =$