Рассмотрим примеры на пределы с корнями, в которых требуется раскрыть неопределенность вида 0 на 0.
![\[1)\mathop {\lim }\limits_{x \to - 4} \frac{{64 + {x^3}}}{{\sqrt {x + 20} - 4}} = \left[ {\frac{0}{0}} \right] = \]](https://www.matematika.uznateshe.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-6e8dd431389cc15dd52318d5007d6484_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Чтобы раскрыть неопределенность 0/0, числитель разложим на множители по формуле суммы кубов, затем и числитель, и знаменатель, домножим на выражение, сопряженное знаменателю (чтобы в знаменателе получить формулу разности квадратов, что позволит нам избавиться от квадратного корня):
![\[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 4} \frac{{(4 + x)(16 - 4x + {x^2})(\sqrt {x + 20} + 4)}}{{(\sqrt {x + 20} - 4)(\sqrt {x + 20} + 4)}} = \]](https://www.matematika.uznateshe.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-2235b477cf3d8613cd4d83df3e43d535_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 4} \frac{{(4 + x)(16 - 4x + {x^2})(\sqrt {x + 20} + 4)}}{{{{(\sqrt {x + 20} )}^2} - {4^2}}} = \]](https://www.matematika.uznateshe.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-610c415de4dba0b9f457b2428c0e01ad_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 4} \frac{{(4 + x)(16 - 4x + {x^2})(\sqrt {x + 20} + 4)}}{{x + 4}} = \]](https://www.matematika.uznateshe.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-b4f1a8539508731eeff26ec6c5e9ad4d_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 4} (16 - 4x + {x^2})(\sqrt {x + 20} + 4) = \]](https://www.matematika.uznateshe.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-781dbbf4e270f13d590da5274b40660d_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[ = (16 + 16 + 16)(\sqrt {-4 + 20} + 4) = 384\]](https://www.matematika.uznateshe.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-74f4c264b84228927601f80cb2dc015d_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[2)\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\sqrt {x + 8} - 3}}{{2{x^2} + 3x - 5}} = \left[ {\frac{0}{0}} \right] = \]](https://www.matematika.uznateshe.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-880b2c91891949990695fc6004c288e6_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
И числитель, и знаменатель умножаем на выражение, сопряженное знаменателю. Знаменатель раскладываем по теореме о разложении квадратного трехчлена на множители:
![\[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{(\sqrt {x + 8} - 3)(\sqrt {x + 8} + 3)}}{{2(x - 1)(x + \frac{5}{2})(\sqrt {x + 8} + 3)}} = \]](https://www.matematika.uznateshe.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-907996c4d5a4e7ccbde7794d2565b2c0_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{x - 1}}{{2(x - 1)(x + \frac{5}{2})(\sqrt {x + 8} + 3)}} = \]](https://www.matematika.uznateshe.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-41a0a5046f3bb75408562f1e3524508f_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{1}{{(2x + 5)(\sqrt {x + 8} + 3)}} = \frac{1}{{(2 + 5)(\sqrt {1 + 8} + 3)}} = \frac{1}{{42}}.\]](https://www.matematika.uznateshe.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-d3d50195952bf5b380fe5ed64f357326_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[3)\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\sqrt[3]{x} - 1}}{{\sqrt {x + 1} - \sqrt {2x} }} = \left[ {\frac{0}{0}} \right] = \]](https://www.matematika.uznateshe.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-0fc97b4d846750e985d2c8b5eafac9c2_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Домножаем и числитель, и знаменатель на выражения, сопряженные числителю и знаменателю. То есть
![\[(\sqrt[3]{x} - 1)(\sqrt[3]{{{x^2}}} + \sqrt[3]{x} + 1) = {(\sqrt[3]{x})^3} - {1^3} = x - 1\]](https://www.matematika.uznateshe.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-d9f22f5f674f7ea410b255fbf3bec1f5_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[(\sqrt {x + 1} - \sqrt {2x} )(\sqrt {x + 1} + \sqrt {2x} ) = \]](https://www.matematika.uznateshe.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-9bd6785e79d12c3042121346cb044f3f_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[ = {(\sqrt {x + 1} )^2} - {(\sqrt {2x} )^2} = x + 1 - 2x = 1 - x\]](https://www.matematika.uznateshe.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-5116013cbe4f2b10e43a93039baf1a1c_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{(\sqrt[3]{x} - 1)(\sqrt[3]{{{x^2}}} + \sqrt[3]{x} + 1)(\sqrt {x + 1} + \sqrt {2x} )}}{{(\sqrt {x + 1} - \sqrt {2x} )(\sqrt {x + 1} + \sqrt {2x} )(\sqrt[3]{{{x^2}}} + \sqrt[3]{x} + 1)}} = \]](https://www.matematika.uznateshe.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-2270865eca707dc5fe38be42ac8cc329_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{(x - 1)(\sqrt {x + 1} + \sqrt {2x} )}}{{(1 - x)(\sqrt[3]{{{x^2}}} + \sqrt[3]{x} + 1)}} = - \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\sqrt {x + 1} + \sqrt {2x} }}{{\sqrt[3]{{{x^2}}} + \sqrt[3]{x} + 1}} = \]](https://www.matematika.uznateshe.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-3b518dc897327112f9706420e0c0f275_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[ = - \frac{{\sqrt 2 + \sqrt 2 }}{{1 + 1 + 1}} = - \frac{{2\sqrt 2 }}{3}.\]](https://www.matematika.uznateshe.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-113aee09510377db4b31ec29a8ae8cb9_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Примеры для самопроверки:
![\[1)\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\sqrt {x + 8} - 3}}{{2{x^2} + 3x - 5}};\]](https://www.matematika.uznateshe.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-ed88c1ae836d4577d2cd491f4a8d25eb_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[2)\mathop {\lim }\limits_{x \to - 3} \frac{{\sqrt {x + 10} - \sqrt {4 - x} }}{{2{x^2} - x - 21}};\]](https://www.matematika.uznateshe.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-4aee7eb5319ec8b8bedd22c5cf5f3f61_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[3)\mathop {\lim }\limits_{x \to 7} \frac{{\sqrt {x - 3} - 2}}{{\sqrt {x + 2} - 3}}.\]](https://www.matematika.uznateshe.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-759405a22280c8818425a647a0dfa852_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[1)\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\sqrt {x + 8} - 3}}{{2{x^2} + 3x - 5}} = \left[ {\frac{0}{0}} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{(\sqrt {x + 8} - 3)(\sqrt {x + 8} + 3)}}{{2(x - 1)(x + \frac{5}{2})(\sqrt {x + 8} + 3)}} = \]](https://www.matematika.uznateshe.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-ddb2c9e4c14d5c87bf024048cb96dabc_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{{(\sqrt {x + 8} )}^2} - {3^2}}}{{2(x - 1)(x + \frac{5}{2})(\sqrt {x + 8} + 3)}} = \]](https://www.matematika.uznateshe.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-5a9249292599c5e6e84f308089ca34a2_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{1}{{(2x + 5)(\sqrt {x + 8} + 3)}} = \frac{1}{{(2 + 5)\sqrt {1 + 8} + 3)}} = \frac{1}{{42}}.\]](https://www.matematika.uznateshe.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-40631903767efa9ef10ca6c99dd030e3_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[2)\mathop {\lim }\limits_{x \to - 3} \frac{{\sqrt {x + 10} - \sqrt {4 - x} }}{{2{x^2} - x - 21}} = \left[ {\frac{0}{0}} \right] = \]](https://www.matematika.uznateshe.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-b7ab442d60ba076da304775fc81ea47a_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 3} \frac{{(\sqrt {x + 10} - \sqrt {4 - x} )(\sqrt {x + 10} + \sqrt {4 - x} )}}{{2(x + 3)(x - \frac{7}{2})(\sqrt {x + 10} + \sqrt {4 - x} )}} = \]](https://www.matematika.uznateshe.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-7a347c8d1eb5624275b9debf85b6031b_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 3} \frac{{{{(\sqrt {x + 10} )}^2} - {{(\sqrt {4 - x} )}^2}}}{{2(x + 3)(x - \frac{7}{2})(\sqrt {x + 10} + \sqrt {4 - x} )}} = \]](https://www.matematika.uznateshe.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-502f38f8711a00dde648210cdd56d575_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 3} \frac{{x + 10 - 4 + x}}{{2(x + 3)(x - \frac{7}{2})(\sqrt {x + 10} + \sqrt {4 - x} )}} = \]](https://www.matematika.uznateshe.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-ac434d22ae8ff317c63962594a05077b_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 3} \frac{{2(x + 3)}}{{(x + 3)(2x - 7)(\sqrt {x + 10} + \sqrt {4 - x} )}} = \]](https://www.matematika.uznateshe.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-45ad563f1f25e62c9fe514c599532a4f_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 3} \frac{2}{{(2x - 7)(\sqrt {x + 10} + \sqrt {4 - x} )}} = \]](https://www.matematika.uznateshe.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-cfdca4895c7e1b144d6a49e9716e61f8_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[ = \frac{2}{{ - 13 \cdot 2\sqrt 7 }} = - \frac{1}{{13\sqrt 7 }}.\]](https://www.matematika.uznateshe.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-bda48567a7288ca882904f4fe8c043fa_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[3)\mathop {\lim }\limits_{x \to 7} \frac{{\sqrt {x - 3} - 2}}{{\sqrt {x + 2} - 3}} = \left[ {\frac{0}{0}} \right] = \]](https://www.matematika.uznateshe.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-3bcd209b0892908fc7946afa6745036e_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 7} \frac{{(\sqrt {x - 3} - 2)(\sqrt {x - 3} + 2)(\sqrt {x + 2} + 3)}}{{(\sqrt {x + 2} - 3)(\sqrt {x - 3} + 2)(\sqrt {x + 2} + 3)}} = \]](https://www.matematika.uznateshe.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-b907310911a78d2b62448e54ada716cd_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 7} \frac{{({{(\sqrt {x - 3} )}^2} - {2^2})(\sqrt {x + 2} + 3)}}{{({{(\sqrt {x + 2} )}^2} - {3^2})(\sqrt {x - 3} + 2)}} = \]](https://www.matematika.uznateshe.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-c75ae3827e5f4b8bee712c8efdfb39cc_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 7} \frac{{(x - 3 - 4)(\sqrt {x + 2} + 3)}}{{(x + 2 - 9)(\sqrt {x - 3} + 2)}} = \]](https://www.matematika.uznateshe.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-c2bd6a3fd268880b3b00fa16e457a258_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 7} \frac{{\sqrt {x + 2} + 3}}{{\sqrt {x - 3} + 2}} = \frac{{\sqrt {7 + 2} + 3}}{{\sqrt {7 - 3} + 2}} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}.\]](https://www.matematika.uznateshe.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-e49f8b439dfbba06292d91898b957c82_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
спасибо от Вас есть польза
Спасибо 🙂
Просто лучший отзыв. 🙂
Как хорошо быть кому-то полезным. 😀
Большое спасибо)) Помогло) ребята если у вас есть еще проблемы на эту тему например первый замечательный предел второй замеч. предел в ютюбе есть классный канал «bezbotvy». Он супер объясняет, мне все понятно) Да и не только мне там куча положительных комментарий) Доступно объясняет) Благодаря ему и таким сайтам как http://www.matematikauznateshe.tmweb.ru/ мы не утонем в математике) Хороших преподов и статей очень мало. Не теряйте времени! Удачи всем))
Респект этому сайту!!!)
спасибо большое. замечательное объяснение )))) даже мне гуманитарию стало понятно как решать )))))))))
Спасибо за сайт!!!