Интегрировать по частям

Помимо трех «классических» вариантов, интегрировать по частям можно и в других случаях. Если интеграл не относится к какому-либо конкретному виду, есть смысл попробовать интегрировать его по частям.Рассмотрим примеры.

$1)\int {\cos (\ln x)dx}$

$\left| \begin{array}{l}u = \cos (\ln x)\\du = - \sin (\ln x) \cdot (\ln x)'dx = \\ = - \frac{{\sin (\ln x)}}{x}\\dv = dx,v = x\end{array} \right|$

$\int {\cos (\ln x)dx} = x\cos (\ln x) - \int {x \cdot (} - \frac{{\sin (\ln x)}}{x})dx =$

$= x\cos (\ln x) + \int {\sin (\ln x)} dx =$

Попробуем проинтегрировать по частям еще раз:

$\left| \begin{array}{l}u = \sin (\ln x)\\du = \cos (\ln x) \cdot (\ln x)'dx = \\ = \frac{{\cos (\ln x)}}{x}\\dv = dx,v = x\end{array} \right|$

$= x\cos (\ln x) + x\sin (\ln x) - \int {x \cdot } \frac{{\cos (\ln x)}}{x}dx =$

$= x\cos (\ln x) + x\sin (\ln x) - \int {\cos (\ln x)dx}$

Пришли к первоначальному интегралу, как в интегралах III типа. Обозначив первоначальный интеграл за I, получим уравнение

$I = x\cos (\ln x) + x\sin (\ln x) - I$

Остается решить его относительно I:

$2I = x\cos (\ln x) + x\sin (\ln x) + 2C$

(2C берем, чтобы после деления на 2 осталось C)

$I = \frac{1}{2}(x\cos (\ln x) + x\sin (\ln x) + 2C)$

$\int {\cos (\ln x)dx} = \frac{1}{2}x(\cos (\ln x) + \sin (\ln x)) + C$

Проверка подтверждает — ответ верен.

$2)\int {\frac{{{x^3}dx}}{{\sqrt {1 + {x^2}} }}}$

$\left| \begin{array}{l}u = {x^2},du = 2xdx\\dv = \frac{{xdx}}{{\sqrt {1 + {x^2}} }}\\v = \int {\frac{{xdx}}{{\sqrt {1 + {x^2}} }} = \frac{1}{2}\int {\frac{{2xdx}}{{\sqrt {1 + {x^2}} }} = } } \\ = \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt {1 + {x^2}} = \sqrt {1 + {x^2}} \end{array} \right|$

v ищем с помощью замены переменной:

$\int {\frac{{2xdx}}{{\sqrt {1 + {x^2}} }} = } \left| \begin{array}{l}1 + {x^2} = t\\dt = 2xdx\end{array} \right| = \int {\frac{{dt}}{{\sqrt t }}} = 2\sqrt t = 2\sqrt {1 + {x^2}}$

$\int {\frac{{{x^3}dx}}{{\sqrt {1 + {x^2}} }}} = {x^2}\sqrt {1 + {x^2}} - 2\int {x \cdot } \sqrt {1 + {x^2}} dx =$

Второй интеграл найдем с помощью такой же замены переменной:

$\int x \sqrt {1 + {x^2}} dx = \frac{1}{2}\int {2x} \sqrt {1 + {x^2}} dx = \left| \begin{array}{l}1 + {x^2} = t\\dt = 2xdx\end{array} \right| =$

$= \frac{1}{2}\int {\sqrt t } dt = \frac{1}{2}\int {{t^{\frac{1}{2}}}} dt = \frac{1}{2}\frac{{{t^{\frac{3}{2}}}}}{{\frac{3}{2}}} = \frac{1}{3}\sqrt {{t^3}} = \frac{1}{3}\sqrt {{{(1 + {x^2})}^3}}$

$\int {\frac{{{x^3}dx}}{{\sqrt {1 + {x^2}} }}} = {x^2}\sqrt {1 + {x^2}} - \frac{2}{3}\sqrt {{{(1 + {x^2})}^3}} + C.$

Интегрировать по частям

Добавить комментарий Отменить ответ

Свежие записи

Это интересно

Навигация по сайту

Рубрики

Свежие записи

Это интересно