Чаще всего рассматривают следующие следствия из первого замечательного предела:
![\[\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{tgx}}{x} = 1,\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\arcsin x}}{x} = 1,\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\operatorname{arc} tgx}}{x} = 1.\]](https://www.matematika.uznateshe.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-0261379d0cd6d64793c55a34245b5ad3_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Рассмотрим примеры на следствия из первого замечательного предела.
Найти предел функции:
![\[1)\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\operatorname{arc} tg5x}}{{\sin 9x}} = \left[ {\frac{0}{0}} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\frac{{\operatorname{arc} tg5x}}{{5x}} \cdot 5x}}{{\frac{{\sin 9x}}{{9x}} \cdot 9x}} = \frac{{1 \cdot 5}}{{1 \cdot 9}} = \frac{5}{9}.\]](https://www.matematika.uznateshe.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-9541e899759dae73c398fc3b31d04157_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[2)\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{tgx - \sin x}}{{{x^3}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin x(\frac{1}{{\cos x}} - 1)}}{{{x^3}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin x(1 - \cos x)}}{{{x^3} \cdot \cos x}} = \]](https://www.matematika.uznateshe.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-9ecd2cf977497bd72d99f0f338c87796_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin x \cdot 2{{\sin }^2}\frac{x}{2}}}{{{x^3} \cdot \cos x}} = 2\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\frac{{\sin x}}{x} \cdot x \cdot {{(\frac{{\sin \frac{x}{2}}}{{\frac{x}{2}}})}^2} \cdot \frac{{{x^2}}}{4}}}{{{x^3} \cdot \cos x}} = \]](https://www.matematika.uznateshe.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-9601774970b4496e1f1f6c009172db26_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[ = 2 \cdot \frac{1}{4}\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\frac{{\sin x}}{x} \cdot {{(\frac{{\sin \frac{x}{2}}}{{\frac{x}{2}}})}^2}}}{{\cos x}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{{1 \cdot {1^2}}}{{\cos 0}} = \frac{1}{2} \cdot \]](https://www.matematika.uznateshe.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-929ca1cd250a4007f269a1457fcedee2_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[3)\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\cos x - {{\cos }^3}x}}{{x \cdot arctgx}} = \left[ {\frac{0}{0}} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\cos x(1 - {{\cos }^2}x)}}{{x \cdot arctgx}} = \]](https://www.matematika.uznateshe.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-002ae24f495127bf80032214e0a8d640_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\cos x \cdot {{\sin }^2}x}}{{x \cdot arctgx}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\cos x \cdot {{(\frac{{\sin x}}{x})}^2} \cdot {x^2}}}{{x \cdot \frac{{arctgx}}{x} \cdot x}} = \]](https://www.matematika.uznateshe.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-529fb6ce52ea4f57e6a419f63b988aca_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\cos x \cdot {{(\frac{{\sin x}}{x})}^2}}}{{\frac{{arctgx}}{x}}} = \frac{{\cos 0 \cdot {1^2}}}{1} = 1.\]](https://www.matematika.uznateshe.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-6c7826baf6de99cee7eb59c235eb44a9_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[4)\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\cos ax - \cos bx}}{{x \cdot tgx}} = \left[ {\frac{0}{0}} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{ - 2\sin \frac{{(a - b)x}}{2}\sin \frac{{(a + b)x}}{2}}}{{x \cdot tgx}} = \]](https://www.matematika.uznateshe.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-8054012210d6407cb294ca457ff9aa2c_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[ = \mathop { - 2\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\frac{{\sin \frac{{(a - b)x}}{2}}}{{\frac{{(a - b)x}}{2}}} \cdot \frac{{(a - b)x}}{2} \cdot \frac{{\sin \frac{{(a + b)x}}{2}}}{{\frac{{(a + b)x}}{2}}} \cdot \frac{{(a + b)x}}{2}}}{{x \cdot \frac{{tgx}}{x} \cdot x}} = \]](https://www.matematika.uznateshe.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-caacdd2df075cb1337559f4a04ec3d9b_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[ = \mathop { - 2\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\frac{{\sin \frac{{(a - b)x}}{2}}}{{\frac{{(a - b)x}}{2}}} \cdot \frac{{(a - b)}}{2} \cdot \frac{{\sin \frac{{(a + b)x}}{2}}}{{\frac{{(a + b)x}}{2}}} \cdot \frac{{(a + b)}}{2}}}{{\frac{{tgx}}{x}}} = \]](https://www.matematika.uznateshe.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-4e9012f7970ffa59aa5bdce93644c7b1_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[ = - 2 \cdot \frac{{1 \cdot \frac{{a - b}}{2} \cdot \frac{{a + b}}{2}}}{1} = - \frac{{{a^2} - {b^2}}}{2} = \frac{{{b^2} - {a^2}}}{2}.\]](https://www.matematika.uznateshe.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-fe1452dac49f6808c3e2ddd858708b6d_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
примеры с решениями
Спасибо.
cos(a)x-cos(b)x
это то что я давно искал.
Я рада, что пригодился материал. Успехов Вам в учебе!
спасибо вам огромное , за ваш труд . я был бы давно в армии если б не вы)
Пожалуйста! Желаю дальнейших успехов! Надеюсь, Вы также научитесь получать удовольствие от решения математических задач 🙂
здравствуйте возникли трудности при решении предела 10x^2/(1-cosx) без использования диффренциального исчисления, помогите пожалуйста.
Большое спасибо, вы мне очень помогли
Здравствуйте, помогите пожалуйста решить предел функции ((2x+3)/(2x+1))^(x+1) x стремится к бесконечности, заранее вам благодарен.
Это — пример на второй замечательный предел.
Спасибо!
Спасибо, я без вас не решил бы!
Иван, во всем можно разобраться, было бы желание и время. И лучше это делать заранее, а не в ночь перед экзаменом :).
Здравствуйте, помогите пожалуйста решить предел функции с помощью правила Лопиталя tg(pi*x)/(x-4) x стремится к 4
Спасибо большое!
помогите пожалуйста вычислить предел (1-x^2)^1/2 xстремится к -1
Неопределенности здесь нет, просто подставляем x=-1 и вычисляем.
спасибо
Помогите пожалуйста решить при помощи первого замечательного предела: sinx*cosx/7x, при х стремящемся к 0.