Производная параметрической функции

Функция задана параметрически, если зависимость функции y от аргумента x задана посредством параметра t:

$\left\{ \begin{gathered} x = \varphi (t), \hfill \\ y = \psi (t). \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Производная параметрической функции равна частному производных y и x, взятых по переменной t:

$y{'_x} = \frac{{y{'_t}}}{{x{'_t}}} = \frac{{\psi '(t)}}{{\varphi '(t)}}$

или в других обозначениях

$\frac{{dy}}{{dx}} = \frac{{\frac{{dy}}{{dt}}}}{{\frac{{dx}}{{dt}}}}.$

Примеры.

Найти производную параметрической функции:

$1)\left\{ \begin{gathered} x = 3{t^2} + 1, \hfill \\ y = {t^4}. \hfill \\ \end{gathered} \right.$

$y{'_t} = \frac{{y{'_t}}}{{x{'_t}}} = \frac{{({t^4})'}}{{(3{t^2} + 1)'}} = \frac{{4{t^3}}}{{3 \cdot 2t}} = \frac{{2{t^2}}}{3}.$

$2)\left\{ \begin{gathered} x = {e^t}\cos t, \hfill \\ y = {e^t}\sin t. \hfill \\ \end{gathered} \right.$

$y{'_t} = \frac{{y{'_t}}}{{x{'_t}}} = \frac{{({e^t}\sin t)'}}{{({e^t}\cos t)'}} = \frac{{({e^t})' \cdot \sin t + (\sin t)' \cdot {e^t}}}{{({e^t})' \cdot \cos t + (\cos t)' \cdot {e^t}}} =$

$= \frac{{{e^t} \cdot \sin t + \cos t \cdot {e^t}}}{{{e^t} \cdot \cos t + ( - \sin t)' \cdot {e^t}}} = \frac{{{e^t}(\sin t + \cos t)}}{{{e^t}(\cos t - \sin t)}} = \frac{{\sin t + \cos t}}{{\cos t - \sin t}}.$

$3)\left\{ \begin{gathered} x = \sqrt {{t^2} - 3,} \hfill \\ y = 5 - 4t. \hfill \\ \end{gathered} \right.$

$y{'_x} = \frac{{y{'_t}}}{{x{'_t}}} = \frac{{(5 - 4t)'}}{{(\sqrt {{t^2} - 3} )'}} =$

Здесь x(t) — сложная функция. Внешняя функция f=√u, внутренняя u=t² -3:

$= \frac{{ - 4}}{{\frac{1}{{2\sqrt {{t^2} - 3} }} \cdot ({t^2} - 3)'}} = \frac{{ - 4 \cdot 2\sqrt {{t^2} - 3} }}{{2t}} = \frac{{ - 4\sqrt {{t^2} - 3} }}{t}.$