Найти производную неявно заданной функции

Неявная функция — это функция у от аргумента x, заданная уравнением F(x;y)=0,  не разрешенным относительно y. 

Чтобы найти производную неявно заданной функции:

1. Находим производную по x от левой части уравнения F(x;y)=0, с учетом того, что у — функция от x;

2. Полученное выражение приравниваем к нулю и решаем как уравнение относительно y’, то есть выражаем y’ через y и x.

Примеры. Найти производную неявно заданной функции:

1) x³+xy²+y³=0.

1. Это — неявная функция. Находим производную по x левой части равенства с учетом того, что y — функция от x:

(x³+xy²+y³)’=3x²+x’·y²+(y²)’·x+3y²·y’=3x²+y²+2y·y’·x+3y²·y’

2. Полученное выражение приравниваем к нулю и из него находим y’:

3x²+y²+2y·y’·x+3y²·y’=0

3x²+y²+y'(2xy+3y²)=0

y'(2xy+3y²)=-3x²-y²

   

2) siny=xy

1. Приводим зависимость к виду F(x;y)=0. Для этого переносим все слагаемые в левую часть: siny-xy=0. Теперь находим производную по x от левой части (не забывая о том, что y — функция от x):

(siny-xy)’=cosy-(x’·y+y’·x)=cosy-y-xy’.

2. Полученное выражение приравниваем к 0 и находим y’:

cosy-y-xy’=0

xy’=cosy-y

   

   

1. Приводим выражение к виду F(x;y)=0:

   

Теперь находим производную по x левой части (y=y(x)!):

   

   

   

2. Приравниваем получившееся выражение к нулю и решаем уравнение относительно y’:

   

   

   

   

Примеры для самопроверки. Найти производную неявно заданной функции:

1) xy²+x²y=5;

2) arctg(x+y)=y.

Показать решение