Примеры на интегрирующий множитель

Проиллюстрируем применение интегрирующего множителя в решении дифференциальных уравнений. Рассмотрим примеры на интегрирующий множитель.

1) Проинтегрировать уравнение (xy²-y³)dx+(1-xy²)dy=0.

1. ∂P/∂y=∂(xy²-y³)/∂y=2xy-3y²; ∂Q/∂x=∂(1-xy²)/∂x=-y². Поскольку ∂P/∂y≠∂Q/∂x, это уравнение не является уравнением в полных дифференциалах. Здесь

$\frac{1}{P}(\frac{{\partial Q}}{{\partial x}} - \frac{{\partial P}}{{\partial y}}) = \frac{1}{{x{y^2} - {y^3}}}( - {y^2} - 2xy + 3{y^2}) =$

$= \frac{{ - 2y(x - y)}}{{{y^2}(x - y)}} = - \frac{2}{y}.$

Таким образом, интегрирующий множитель не зависит от x и ищем его как функцию от y: µ=µ(y). В этом случае

$\frac{{\partial \ln \mu }}{{\partial y}} = \frac{1}{P}(\frac{{\partial Q}}{{\partial x}} - \frac{{\partial P}}{{\partial y}}), \Rightarrow \frac{{\partial \ln \mu }}{{\partial y}} = - \frac{2}{y},$

интегрируя полученное равенство, имеем:

$\ln \left| {\mu (y)} \right| = - 2\int {\frac{{dy}}{y}} , \Rightarrow \ln \left| {\mu (y)} \right| = - 2\ln \left| y \right|,$

$\Rightarrow \ln \left| {\mu (y)} \right| = \ln \left| {\frac{1}{{{y^2}}}} \right|, \Rightarrow \mu (y) = \frac{1}{{{y^2}}}.$

2. Теперь умножим обе части исходного уравнения (xy²-y³)dx+(1-xy²)dy=0 на найденный интегрирующий множитель µ(y)=1/y². Получаем:

(x-y)dx+(1/y²-x)dy=0. Проверяем, действительно ли получили уравнение в полных дифференциалах: ∂P/∂y=∂(x-y)/∂y=-1, ∂Q/∂x=∂(1/y²-x)/∂x=-1. То есть ∂P/∂y=∂Q/∂x, необходимое и достаточное условие выполнено, а значит, это уравнение в полных дифференциалах.

$\frac{{\partial U}}{{\partial x}} = P(x;y) = x - y, \Rightarrow$

$U(x;y) = \int {(x - y)dx + \varphi (y) = } \frac{{{x^2}}}{2} - xy + \varphi (y).$

2) Дифференцируем полученную функцию U(x;y) по y:

$\frac{{\partial U}}{{\partial y}} = (\frac{{{x^2}}}{2} - xy + \varphi (y)){'_y} = - x + \varphi '(y).$

А поскольку

$\frac{{\partial U}}{{\partial y}} = Q(x;y) = \frac{1}{{{y^2}}} - x, \Rightarrow \varphi '(y) = \frac{1}{{{y^2}}}.$

Проинтегрировав получившееся равенство, находим

$\varphi (y) = \int {\frac{{dy}}{{{y^2}}}} , \Rightarrow \varphi (y) = - \frac{1}{y} + C.$

$\varphi (y) = \int {\frac{{dy}}{{{y^2}}}} , \Rightarrow \varphi (y) = - \frac{1}{y} + {C_1}.$

$3)U(x;y) = \frac{{{x^2}}}{2} - xy + \varphi (y) = \frac{{{x^2}}}{2} - xy - \frac{1}{y} + {C_1}.$

А поскольку интеграл уравнения в полных дифференциалах dU(x;y)=0 есть U(x;y)=C, то получаем, что

$\frac{{{x^2}}}{2} - xy - \frac{1}{y} = C.$

Ответ:

$\frac{{{x^2}}}{2} - xy - \frac{1}{y} = C.$

2) Решить уравнение (y²-2x-2)dx+2ydy=0.

1. ∂P/∂y=∂(y²-2x-2)/∂y=2y, ∂Q/∂x=∂(2y)/∂x=0. Поскольку ∂P/∂y≠∂Q/∂x, это уравнение не является уравнением в полных дифференциалах.Но (1/Q)(∂P/∂y-∂Q/∂x)=(1/2y)(2y-0)=1. Таким образом, интегрирующий множитель не зависит от y и ищем его как функцию от x: µ=µ(x). В этом случае

$\frac{{\partial \ln \mu }}{{\partial x}} = \frac{1}{Q}(\frac{{\partial P}}{{\partial y}} - \frac{{\partial Q}}{{\partial x}}), \Rightarrow \frac{{\partial \ln \mu }}{{\partial x}} = 1.$