пределы на бесконечность на бесконечность

Рассмотрим пределы на раскрытие неопределенности вида бесконечность на бесконечность.

Сначала учтем следующее:

— если при вычислении предела в числителе дроби стоит число, то

$\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{const}}{{{x^k}}} = \left[ {\frac{{const}}{\infty }} \right] = 0$

— или

$\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{ \pm {x^k}}}{{const}} = \left[ {\frac{{ \pm \infty }}{{const}}} \right] = \pm \infty$

Выражение вида

$\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{{a_1}{x^n} + {a_2}{x^{n - 1}} + ... + {a_n}}}{{{b_1}{x^m} + {b_2}{x^{m - 1}} + ... + {b_m}}} = \left[ {\frac{\infty }{\infty }} \right] = ?$

— это предел на неопределенность вида бесконечность, деленная на бесконечность (или просто бесконечность на бесконечность).

Чтобы найти предел, надо раскрыть неопределенность вида бесконечность на бесконечность. Для этого и в числителе, и в знаменателе выносим за скобки степень с наибольшим показателем. Затем сокращаем на нее.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{5{x^3} + 3{x^2} - 4x}}{{7{x^3} - 2x + 9}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{{x^3}(5 + \frac{3}{x} - \frac{4}{{{x^2}}})}}{{{x^3}(7 - \frac{2}{{{x^2}}} + \frac{9}{{{x^3}}})}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{5 + \frac{3}{x} - \frac{4}{{{x^2}}}}}{{7 - \frac{2}{{{x^2}}} + \frac{9}{{{x^3}}}}} = \frac{5}{7}$

В дальнейшем просто делим почленно числитель и знаменатель (то есть каждое слагаемое) на старшую степень икса.
2)

$\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{6{x^3} - 7{x^2} + 4}}{{7{x^2} + x - 9}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{6 - \frac{7}{x} + \frac{4}{{{x^3}}}}}{{\frac{7}{x} + \frac{1}{{{x^3}}} - \frac{9}{{{x^3}}}}} = \left[ {\frac{6}{0}} \right] = \infty$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{6 + 12{x^2} - 8{x^4}}}{{3{x^2} - 2x + 5}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{\frac{6}{{{x^4}}} - \frac{{12}}{{{x^2}}} - 8}}{{\frac{3}{{{x^2}}} - \frac{2}{{{x^3}}} + \frac{5}{{{x^4}}}}} = \left[ {\frac{{ - 8}}{0}} \right] = - \infty$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{8 + 11{x^2} + 3{x^3}}}{{3{x^4} + 5{x^2} - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{\frac{8}{{{x^4}}} + \frac{{11}}{{{x^2}}} + \frac{3}{x}}}{{3 + \frac{5}{{{x^2}}} - \frac{2}{{{x^4}}}}} = \left[ {\frac{0}{3}} \right] = 0$

А теперь сделаем выводы. Пределы на неопределенность бесконечность на бесконечность сводятся к одному из трех вариантов:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{{a_1}{x^n} + {a_2}{x^{n - 1}} + ... + {a_n}}}{{{b_1}{x^m} + {b_2}{x^{m - 1}} + ... + {b_m}}} = \left\{ \begin{gathered} \frac{{{a_1}}}{{{b_1}}},n = m \hfill \\ 0,n \triangleleft m \hfill \\ \pm \infty ,n \triangleright m. \hfill \\ \end{gathered} \right.$