предел показательной функции

Рассмотрим два следствия из 2-го замечательного предела, с помощью которых можно найти предел показательной функции, в том числе, предел экспоненты.

$I.\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{e^x} - 1}}{x} = 1$

$II.\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{a^x} - 1}}{x} = \ln a.$

Эти формулы можно применять и для случаев, когда на месте x стоит f(x), при условии, что при x→0, f(x)→0:

$(Ia).\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{e^{f(x)}} - 1}}{{f(x)}} = 1,f(x) \to 0,$

$(IIa).\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{a^{f(x)}} - 1}}{{f(x)}} = \ln a,f(x) \to 0.$

Проиллюстрируем, как найти предел показательной функции, в частности, предел экспоненты, на примерах.

Найти предел функции:

$1)\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{e^{ - 2x}} - 1}}{{3x}} = \left[ {\frac{0}{0}} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\frac{{{e^{ - 2x}} - 1}}{{ - 2x}} \cdot ( - 2x)}}{{3x}} =$

Сокращаем дробь на x. Получаем в числителе выражение вида (Ia), а значит, можем применить это следствие из 2-го замечательного предела:

$= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\frac{{{e^{ - 2x}} - 1}}{{ - 2x}} \cdot ( - 2)}}{3} = \frac{{1 \cdot ( - 2)}}{3} = - \frac{2}{3}.$

$2)\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{e^{3x}} - {a^{7x}}}}{{5x}} = \left[ {\frac{0}{0}} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{({e^{3x}} - 1) - ({a^{7x}} - 1)}}{{5x}} =$

Здесь мы вычли и прибавили единицу, поэтому в итоге значение выражения, стоящего в числителе, не изменилось.

$= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\frac{{{e^{3x}} - 1}}{{3x}} \cdot 3x - \frac{{{a^{7x}} - 1}}{{7x}} \cdot 7x}}{{5x}} =$

Выносим общий множитель x за скобки и сокращаем на него:

$= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{x(\frac{{{e^{3x}} - 1}}{{3x}} \cdot 3 - \frac{{{a^{7x}} - 1}}{{7x}} \cdot 7)}}{{5x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\frac{{{e^{3x}} - 1}}{{3x}} \cdot 3 - \frac{{{a^{7x}} - 1}}{{7x}} \cdot 7}}{5} =$

В числителе получили выражения вида (Ia) и (IIа)

$= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{1 \cdot 3 - \ln 7 \cdot 7}}{5} = \frac{{3 - 7\ln 7}}{5}.$

$3)\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{e^{10x}} - 1}}{{\sin 11x}} = \left[ {\frac{0}{0}} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\frac{{{e^{10x}} - 1}}{{10x}} \cdot 10x}}{{\frac{{\sin 11x}}{{11x}} \cdot 11x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\frac{{{e^{10x}} - 1}}{{10x}} \cdot 10}}{{\frac{{\sin 11x}}{{11x}} \cdot 11}} =$

В числителе — выражение вида (Ia), в знаменателе — 1й замечательный предел:

$= \frac{{1 \cdot 10}}{{1 \cdot 11}} = \frac{{10}}{{11}}.$

Предел показательной функции

Добавить комментарий Отменить ответ

Свежие записи

Это интересно

Навигация по сайту

Рубрики

Свежие записи

Это интересно