подведение под знак дифференциала

Подведение под знак дифференциала — метод интегрирования, который используется достаточно часто.

Технически подведение под знак дифференциала и замена переменной — один и тот же метод нахождения неопределенного интеграла. Отличие — в оформлении.

Подведение под знак интеграла опирается на III правило интегрирования. Если в произведении функции, стоящей под знаком интеграла, и дифференциала можно увидеть произведение другой функции и дифференциала от нее, то применяем подведение под знак дифференциала:

$\int {f(\varphi (x))\varphi '(x)dx = \int {f(u)du,} }$

$u = \varphi (x)$

Рассмотрим интегрирование подведением под знак дифференциала на примерах.

$1)\int {\frac{{{e^{\frac{1}{x}}}dx}}{{{x^2}}}} = - \int {{e^{\frac{1}{x}}}} d(\frac{1}{x}) = - {e^{^{\frac{1}{x}}}} + C.$

Под знаком интеграла стоит произведение

${e^{\frac{1}{x}}} \cdot \frac{1}{{{x^2}}} \cdot dx$

Поскольку

$(\frac{1}{x})' = - \frac{1}{{{x^2}}}, \Rightarrow d(\frac{1}{x}) = - \frac{1}{{{x^2}}}dx$

Не хватает только минуса. Его получаем, умножив на -1 подынтегральную функцию и одновременно вынося минус за знак интеграла.

$2)\int {\frac{{xdx}}{{{x^2} - 12}}} = \frac{1}{2}\int {\frac{{2xdx}}{{{x^2} - 12}}} = \frac{1}{2}\int {\frac{{d({x^2} - 12)}}{{{x^2} - 12}}} =$

$= \frac{1}{2}\ln \left| {{x^2} - 12} \right| + C.$

$3)\int {\frac{{(1 + \cos x)dx}}{{\sqrt {x + \sin x} }}} = \int {\frac{{d(x + \sin x)}}{{\sqrt {x + \sin x} }}} = \int {\frac{{d(x + \sin x)}}{{\sqrt {x + \sin x} }}} =$

$= 2\sqrt {x + \sin x} + C.$

Очень часто подведение под знак дифференциала используют для нахождения интегралов вида

$\int {f(kx + b)dx = \frac{1}{k}\int {f(kx + b)df = \frac{1}{k}F} } (kx + b) + C.$

Нахождение таких интегралов не вызывает затруднений, и в дальнейшем, когда интегралы такого вида появляются в процессе вычисления более сложных интегралов, можно не расписывать их, а сразу записывать ответ с учетом формул:

${1)\int {{{(kx + b)}^n}dx = \frac{1}{k} \cdot \frac{{{{(kx + b)}^{n + 1}}}}{{n + 1}} + C} }$

${1a)\int {\frac{{dx}}{{\sqrt {kx + b} }} = \frac{1}{k} \cdot 2\sqrt {kx + b} + C} }$

${1b)\int {\frac{{dx}}{{{{(kx + b)}^2}}} = - \frac{1}{k} \cdot \frac{1}{{kx + b}} + C} }$

${2)\int {\frac{{dx}}{{kx + b}} = \frac{1}{k}\ln \left| {kx + b} \right| + C} }$

${3)\int {{e^{kx + b}}dx = \frac{1}{k} \cdot {e^{kx + b}} + C} }$

${4)\int {{a^{kx + b}}} dx = \frac{1}{k} \cdot \frac{{{a^{kx + b}}}}{{\ln a}} + C}$

${5)\int {\sin (kx + b)dx = - \frac{1}{k}\cos (kx + b) + C} }$

${6)\int {\cos (kx + b)dx = \frac{1}{k}\sin (kx + b) + C} }$

${7)\int {\frac{{dx}}{{{{\cos }^2}(kx + b)}} = \frac{1}{k}tg(kx + b) + C} }$

${8)\int {\frac{{dx}}{{{{\sin }^2}(kx + b)}} = - \frac{1}{k}ctg(kx + b) + C} }$

Примеры для самопроверки

Найти интеграл подведением под знак дифференциала:

$1)\int {tgxdx;}$

$2)\int {\frac{{\cos (\ln x)dx}}{x}} ;$

$3)\int {\frac{{\sin (arctgx)dx}}{{1 + {x^2}}}} .$

Показать решение

2 Comments

GROK:

20.06.2013 в 8:16 пп

а замена переменных и интегрирование по частям в неопределенном интеграле у вас есть?

Ответить
admin:

20.06.2013 в 8:29 пп

На интегрирование по частям есть несколько постов. О замене переменных тоже есть. Смотрите рубрику «Неопределенный интеграл»: http://www.matematikauznateshe.tmweb.ru/category/neopredelennyj-integral/

Ответить

Подведение под знак дифференциала

2 Comments

Добавить комментарий Отменить ответ

Свежие записи

Это интересно

Навигация по сайту

Рубрики

Свежие записи

Это интересно