Метод непосредственного интегрирования

Метод непосредственного интегрирования основан на применении правил интегрирования и использовании табличных интегралов.

В простейших примерах для применения непосредственного интегрирования достаточно разложить подынтегральную функцию на слагаемые и постоянные величины вынести за знак интеграла.

Примеры.

$1)\int {(5{x^4}} - \frac{1}{x} + \frac{3}{{9 + {x^2}}} - 11)dx =$

$= 5\int {{x^4}} dx - \int {\frac{{dx}}{x}} + 3\int {\frac{{dx}}{{9 + {x^2}}}} - 11\int {dx} =$

$= 5 \cdot \frac{{{x^{4 + 1}}}}{{4 + 1}} - \ln \left| x \right| + 3 \cdot \frac{1}{3}arctg\frac{x}{3} - 11x + C =$

$= {x^5} - \ln \left| x \right| + arctg\frac{x}{3} - 11x + C.$

Обычно эти действия проводят устно, записывая лишь результат интегрирования:

$2)\int {(3{e^x}} + 4\cos x - \frac{8}{{\sqrt x }} + 12x)dx =$

$= 3{e^x} + 4( - \sin x) - 8 \cdot 2\sqrt x + 12 \cdot \frac{{{x^{1 + 1}}}}{{1 + 1}} + C =$

$= 3{e^x} - 4\sin x - 16\sqrt x + 6{x^2} + C.$

В некоторых случаях выражение, стоящее под знаком интеграла, можно с помощью алгебраических преобразований упростить так, чтобы можно было применить метод непосредственного интегрирования.

$3)\int {({x^3} + \sqrt x } {)^2}dx = \int {[{{({x^3})}^2} + 2{x^3}\sqrt x } + {(\sqrt x )^2}]dx =$