Число в степени бесконечность

Если при нахождении предела получаем число в степени бесконечность, то для отличных от нуля и единицы значений такое выражение не является неопределенностью и вычисляется непосредственно.Поскольку показательная функция

   

при а>1 возрастает, то для таких а 

   

При 0<а<1 показательная функция убывает, поэтому в этом случае ее значение на бесконечности стремится к нулю :

   

Соответственно, применение второго замечательного предела здесь не требуется. Используем следующее свойство пределов:

   

при условии, что эти пределы существуют.

Рассмотрим примеры, в которых нужно найти число в степени бесконечность.

Найти пределы функций:

1)

   

Получили неопределенность бесконечность на бесконечность в степени бесконечность.

Найдем пределы основания и показателя степени. (Как находить предел бесконечность на бесконечность, уже рассматривали ранее. Делим и числитель, и знаменатель на старшую степень икса, в данном случае — на x.)

   

   

Таким образом, приходим к выводу, что

   

2) Вычислить предел функции:

   

Рассуждаем аналогично. При нахождении предела основания степени делим многочлены в числителе и знаменателе на старшую степень икса, то есть на x²: