приводящиеся к уравнениям с разделяющимися переменными

Рассмотрим, как решить в двух других случаях дифференциальные уравнения, вида:

$y' = f(\frac{{{a_1}x + {b_1}y + {c_1}}}{{{a_2}x + {b_2}y + {c_2}}})$

либо в другой форме записи

$({a_1}x + {b_1}y + {c_1})dx + ({a_2}x + {b_2}y + {c_2}) = 0.$

В этих случаях эти уравнения сводятся уже не однородным дифференциальным уравнениям, а к уравнениям с разделяющимися переменными.

II.Если

$\frac{{{a_1}}}{{{a_2}}} = \frac{{{b_1}}}{{{b_2}}} \ne \frac{{{c_1}}}{{{c_2}}}.$

В этом случае делаем замену

$z = {a_1}x + {b_1}y,$

которая приводит нас к уравнению с разделяющимися переменными.

(Можно сделать замену

$z = {a_2}x + {b_2}y,$

или

$z = {a_1}x + {b_1}y + {c_1}$

или

$z = {a_2}x + {b_2}y + {c_2}$

— берем, что удобнее.)

Примеры:

Решить уравнения:

$1)y' = \frac{{1 - 3x - 3y}}{{1 + x + y}}.$

${a_1} = - 3,{b_1} = - 3,{c_1} = 1,{a_2} = 1,{b_2} = 1,{c_2} = 1, \Rightarrow \frac{{{a_1}}}{{{a_2}}} = \frac{{{b_1}}}{{{b_2}}} \ne \frac{{{c_1}}}{{{c_2}}}$

Замена z=x+y (здесь она удобнее, чем z=-3x-3y). Тогда y=z-x, dy=dz-dx.Подставляем:

$\frac{{dz - dx}}{{dx}} = \frac{{1 - 3z}}{{1 + z}}, \Rightarrow \frac{{dz}}{{dx}} - \frac{{dx}}{{dx}} = \frac{{1 - 3z}}{{1 + z}}, \Rightarrow \frac{{dz}}{{dx}} = \frac{{1 - 3z}}{{1 + z}} + 1, \Rightarrow$

$\frac{{dz}}{{dx}} = \frac{{1 - 3z + 1 + z}}{{1 + z}}, \Rightarrow \frac{{dz}}{{dx}} = \frac{{2 - 2z}}{{1 + z}}, \Rightarrow \frac{{dz}}{{dx}} = 2\frac{{1 - z}}{{1 + z}},$

Обе части умножаем на (1+z)dx и делим на (1-z):

$\frac{{1 + z}}{{1 - z}}dz = 2dx$

В левой части уравнения — неправильная дробь.

Необходимо выделить целую часть. Для этого можно, например, поделить числитель на знаменатель (уголком). А можно преобразовать числитель так, чтобы в нем появился знаменатель:

$- \frac{{ - 1 - z}}{{1 - z}}dz = 2dx, \Rightarrow - \frac{{1 - z - 1 - 1}}{{1 - z}}dz = 2dx, \Rightarrow$

$( - 1 + \frac{2}{{1 - z}})dz = 2dx, \Rightarrow - dz + \frac{2}{{1 - z}}dz = 2dx$

Теперь интегрируем обе части:

$- \int {dz} + 2\int {\frac{{dz}}{{1 - z}}} = 2\int {dx}$

Отсюда

$- z - 2\ln \left| {1 - z} \right| = 2x - C$

Вместо С здесь удобнее взять -С — чтобы после упрощения минусов было поменьше. Теперь умножим обе части на (-1), вот этот минус перед С и уйдет:

$z + 2\ln \left| {1 - z} \right| = - 2x + C, \Rightarrow z + 2\ln \left| {1 - z} \right| + 2x = C,$

Поскольку z=x+y. возвращаемся к исходным переменным и упрощаем:

$x + y + 2\ln \left| {1 - (x + y)} \right| + 2x = C,$

$3x + y + 2\ln \left| {1 - x - y)} \right| = C.$

Можно еще 2, стоящую перед логарифмом, отправить в показатель степени. При этом знак модуля можно снять — ведь выражение в квадрате неотрицательно:

$3x + y + \ln {(1 - x - y)^2} = C.$

2) (2x+3y-1)dx+(4x+6y-5)dy=0

Решение:

$\frac{2}{4} = \frac{3}{6} \ne \frac{{ - 1}}{{ - 5}}$

Замена 2x+3y-1=z, тогда 4x+6y-5=2(2x+3y-1)-3=2z-3. Отсюда dz/dx=2·1+3·dy/dx-0, значит dz/dx=2+3·dy/dx. Умножим обе части на dx: dz=2dx+3dy. Отсюда выражаем dy:

$dy = \frac{{dz - 2dx}}{3}.$