как решить однородное дифференциальное уравнение

Чтобы решить однородное дифференциальное уравнение 1-го порядка, используют подстановку u=y/x, то есть u — новая неизвестная функция, зависящая от икса. Отсюда y=ux. Производную y’ находим с помощью правила дифференцирования произведения:y’=(ux)’=u’x+x’u=u’x+u (так как x’=1). Для другой формы записи: dy=udx+xdu.После подстановки уравнение упрощаем и приходим к уравнению с разделяющимися переменными.

Примеры решения однородных дифференциальных уравнений 1-го порядка.

1) Решить уравнение

$y' = \frac{y}{x}(1 + \ln y - \ln x).$

Решение:

Проверяем, что это уравнение является однородным (см. Как определить однородное уравнение). Убедившись, делаем замену u=y/x, откуда y=ux, y’=(ux)’=u’x+x’u=u’x+u. Подставляем: u’x+u=u(1+ln(ux)-lnx). Так как логарифм произведения равен сумме логарифмов, ln(ux)=lnu+lnx. Отсюда

u’x+u=u(1+lnu+lnx-lnx). После приведения подобных слагаемых: u’x+u=u(1+lnu). Теперь раскрываем скобки

u’x+u=u+u·lnu. В обеих частях стоит u, отсюда u’x=u·lnu. Поскольку u — функция от икса, u’=du/dx. Подставляем,

$x\frac{{du}}{{dx}} = u \cdot \ln u.$

Получили уравнение с разделяющимися переменными. Разделяем переменные, для чего обе части умножаем на dx и делим на x·u·lnu, при условии, что произведение x·u·lnu≠0

$\frac{{du}}{{u \cdot \ln u}} = \frac{{dx}}{x}$

Интегрируем:

$\int {\frac{{du}}{{u \cdot \ln u}} = \int {\frac{{dx}}{x}} }$

В левой части — табличный интеграл. В правой — делаем замену t=lnu, откуда dt=(lnu)’du=du/u

$\int {\frac{{dt}}{t} = \int {\frac{{dx}}{x}} }$

ln│t│=ln│x│+C. Но мы уже обсуждали, что в таких уравнениях вместо С удобнее взять ln│C│. Тогда

ln│t│=ln│x│+ln│C│. По свойству логарифмов: ln│t│=ln│Сx│. Отсюда t=Cx. ( по условию, x>0). Пора делать обратную замену: lnu=Cx. И еще одна обратная замена:

$\ln \frac{y}{x} = Cx$

По свойству логарифмов:

$\ln y - \ln x = Cx, \Rightarrow \frac{{\ln y - \ln x}}{x} = C$

Это — общий интеграл уравнения.

Вспоминаем условие произведение x·u·lnu≠0 (а значит, x≠0,u≠0, lnu≠0, откуда u≠1). Но x≠0 из условия, остается u≠1, откуда x≠y. Очевидно, что y=x ( x>0) входят в общее решение.

Ответ:

$\frac{{\ln y - \ln x}}{x} = C.$

2) Найти частный интеграл уравнения y’=x/y+y/x, удовлетворяющий начальным условиям y(1)=2.

Решение:

Сначала проверяем, что это уравнение является однородным (хотя наличие слагаемых y/x и x/y уже косвенно указывает на это). Затем делаем замену u=y/x, откуда y=ux, y’=(ux)’=u’x+x’u=u’x+u. Подставляем полученные выражения в уравнение:

u’x+u=1/u+u. Упрощаем:

u’x=1/u. Так как u — функция от икса, u’=du/dx:

$x\frac{{du}}{{dx}} = \frac{1}{u}.$

Получили уравнение с разделяющимися переменными. Чтобы разделить переменные, умножаем обе части на dx и u и делим на x (x≠0 по условию, отсюда u≠0 тоже, значит, потери решений при этом не происходит).

$udu = \frac{{dx}}{x}.$

Интегрируем:

$\int {udu = \int {\frac{{dx}}{x},} }$

и поскольку в обеих частях стоят табличные интегралы, сразу же получаем

$\frac{{{u^2}}}{2} = \ln \left| x \right| + C$

Выполняем обратную замену:

$\frac{{{{(\frac{y}{x})}^2}}}{2} = \ln \left| x \right| + C, \Rightarrow \frac{{{y^2}}}{{2{x^2}}} - \ln \left| x \right| = C.$

Это — общий интеграл уравнения. Используем начальное условие y(1)=2, то есть подставляем в полученное решение y=2, x=1:

$\frac{{{2^2}}}{{2 \cdot {1^2}}} - \ln 1 = C, \Rightarrow 2 - 0 = C, \Rightarrow C = 2.$

Ответ:

$\frac{{{y^2}}}{{2{x^2}}} - \ln \left| x \right| = 2.$

3) Найти общий интеграл однородного уравнения:

(x²-y²)dy-2xydx=0.

Решение:

Замена u=y/x, откуда y=ux, dy=xdu+udx. Подставляем:

(x²-(ux)²)(xdu+udx)-2ux²dx=0. Выносим x² за скобки и делим на него обе части (при условии x≠0):

x²(1-u²)(xdu+udx)-2ux²dx=0

(1-u²)(xdu+udx)-2udx=0. Раскрываем скобки и упрощаем:

xdu-u²xdu+udx-u³dx-2udx=0,

xdu-u²xdu-u³dx-udx=0. Группируем слагаемые с du и dx:

(x-u²x)du-(u³+u)dx=0. Выносим общие множители за скобки:

x(1-u²)du-u(u²+1)dx=0. Разделяем переменные:

x(1-u²)du=u(u²+1)dx. Для этого обе части уравнения делим на xu(u²+1)≠0 (соответственно, добавляем требования x≠0 (уже отметили), u≠0):

$\frac{{1 - {u^2}}}{{u(1 + {u^2})}}du = \frac{{dx}}{x}.$

Интегрируем:

$\int {\frac{{1 - {u^2}}}{{u(1 + {u^2})}}du = \int {\frac{{dx}}{x}.} }$

В правой части уравнения — табличный интеграл, рациональную дробь в левой части раскладываем на простые множители:

$\frac{{1 - {u^2}}}{{u(1 + {u^2})}} = \frac{1}{u} - \frac{{2u}}{{1 + {u^2}}},$

$\int {\frac{{du}}{u}} - \int {\frac{{2udu}}{{1 + {u^2}}}} = \int {\frac{{dx}}{x}.}$

$\int {\frac{{du}}{u}} - \int {\frac{{d(1 + {u^2})}}{{1 + {u^2}}}} = \int {\frac{{dx}}{x}.}$

(или во втором интеграле можно было вместо подведения под знак дифференциала сделать замену t=1+u², dt=2udu — кому какой способ больше нравится). Получаем:

$\ln \left| u \right| - \ln \left| {1 + {u^{^2}}} \right| = \ln \left| x \right| + \ln \left| C \right|$

$\ln \left| u \right| - \ln \left| {1 + {u^{^2}}} \right| - \ln \left| x \right| = \ln C$

По свойствам логарифмов:

$\ln \left| {\frac{u}{{x(1 + {u^{^2}})}}} \right| = \ln C, \Rightarrow \frac{u}{{x(1 + {u^{^2}})}} = C$

Обратная замена

$\frac{{\frac{y}{x}}}{{x(1 + {{(\frac{y}{x})}^2})}} = C, \Rightarrow \frac{y}{{{x^2} \cdot \frac{{{x^2} + {y^2}}}{{{x^2}}}}} = C, \Rightarrow \frac{y}{{{x^2} + {y^2}}} = C.$

Вспоминаем условие u≠0. Отсюда y≠0. При С=0 y=0, значит, потери решений не происходит, и y=0 входит в общий интеграл.

Ответ:

$\frac{y}{{{x^2} + {y^2}}} = C.$

Замечание

Можно получить запись решения в другом виде, если слева оставить слагаемое с x:

$\int {\frac{{du}}{u}} - \int {\frac{{d(1 + {u^2})}}{{1 + {u^2}}}} = \int {\frac{{dx}}{x}.}$

$\ln \left| x \right| = \ln \left| u \right| - \ln \left| {1 + {u^{^2}}} \right| + \ln \left| C \right|$

$\ln \left| x \right| = \ln \left| {\frac{{Cu}}{{1 + {u^{^2}}}}} \right|, \Rightarrow x = \frac{{Cu}}{{1 + {u^{^2}}}}, \Rightarrow {x^2} + {y^2} = Cy.$