пределы логарифмов

Рассмотрим пределы логарифмов, которые можно найти с помощью следствия из 2-го замечательного предела.

Следствие 2-го замечательного предела:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\ln (1 + x)}}{x} = 1.$

Это следствие распространяется и на пределы логарифмов, в которых на месте x стоит некоторая функция f(x), если f(x)→0 при x→0, то есть

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\ln (1 + f(x))}}{{f(x)}} = 1.( * )$

Рассмотрим, как находят пределы на логарифмы на примерах.

Найти предел функции:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\ln (1 + 5x)}}{{2x}} = \left[ {\frac{0}{0}} \right] = ?$

Приводим выражени под знаком предела к такому виду, чтобы можно было применить нашу формулу (*):

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\ln (1 + 5x)}}{{2x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\frac{{\ln (1 + 5x)}}{{5x}} \cdot 5x}}{{2x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\frac{{\ln (1 + 5x)}}{{5x}} \cdot 5}}{2} = \frac{{1 \cdot 5}}{2} = \frac{5}{2},$

так как по следствию из 2-го замечательного предела

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\ln (1 + 5x)}}{{5x}} = 1.$

$2)\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\ln (\cos x)}}{{{x^2}}} = \left[ {\frac{0}{0}} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\ln (1 + ( - 1 + \cos x))}}{{{x^2}}} =$

Преобразуем выражение -1+cos x:

$- 1 + \cos x = - (1 - \cos x) = - 2{\sin ^2}\frac{x}{2}$

Продолжим

$= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\ln (1 + ( - 2{{\sin }^2}\frac{x}{2}))}}{{{x^2}}} =$

Теперь приведем предел с логарифмом к виду (*)

$= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\frac{{\ln (1 + ( - 2{{\sin }^2}\frac{x}{2}))}}{{ - 2{{\sin }^2}\frac{x}{2}}} \cdot ( - 2{{\sin }^2}\frac{x}{2})}}{{{x^2}}} =$

С пределом логарифма разобрались:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\ln (1 + ( - 2{{\sin }^2}\frac{x}{2}))}}{{ - 2{{\sin }^2}\frac{x}{2}}} = 1,$

осталось убрать неопределенность 0 на 0, возникшую с появлением синуса. По 1-му замечательному пределу

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin x}}{x} = 1$

Преобразовываем выражение так, чтобы применить этот замечательный предел:

$= - 2\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\frac{{\ln (1 + ( - 2{{\sin }^2}\frac{x}{2}))}}{{ - 2{{\sin }^2}\frac{x}{2}}} \cdot {{\left[ {\frac{{\sin \frac{x}{2}}}{{\frac{x}{2}}}} \right]}^2} \cdot \frac{{{x^2}}}{4}}}{{{x^2}}} =$

Сокращаем дробь на x², имеем:

$= - 2\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\ln (1 + ( - 2{{\sin }^2}\frac{x}{2}))}}{{ - 2{{\sin }^2}\frac{x}{2}}} \cdot {\left[ {\frac{{\sin \frac{x}{2}}}{{\frac{x}{2}}}} \right]^2} \cdot \frac{1}{4} =$

$= - 2 \cdot 1 \cdot {1^2} \cdot \frac{1}{4} = - \frac{1}{2}.$

$3)\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\ln ({x^2} - 7x + 11)}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\ln (1 + ({x^2} - 7x + 10))}}{{x - 2}} =$

$= \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\frac{{\ln (1 + ({x^2} - 7x + 10))}}{{{x^2} - 7x + 10}} \cdot ({x^2} - 7x + 10)}}{{x - 2}} =$

По теореме о разложении квадратного трехчлена на множители: x²-7x+10=(x-2)(x-5).

$= \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\frac{{\ln (1 + ({x^2} - 7x + 10))}}{{{x^2} - 7x + 10}} \cdot (x - 2)(x - 5)}}{{x - 2}} =$

Сокращаем дробь на (x-2):

$= \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\ln (1 + ({x^2} - 7x + 10))}}{{{x^2} - 7x + 10}} \cdot (x - 5) =$

Так как при x→2 x²-7x+10→0, то

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\ln (1 + ({x^2} - 7x + 10))}}{{{x^2} - 7x + 10}} \to 1$

Значит, окончательный ответ

$= 1 \cdot (2 - 5) = - 3.$

Дальше мы увидим, что пределы на логарифмы удобно находить, используя эквивалентность бесконечно малых величин.

6 Comments

efewf:

10.10.2014 в 8:12 пп

Спасибо большое

Ответить
1. admin:
  
  10.10.2014 в 8:22 пп
  
  Я рада, что материал Вам пригодился!
  
  Ответить
Юрий:

13.10.2014 в 6:00 пп

Спасибо большое, очень помогло!
Возник такой вопрос: вы в одном месте вынесли умножение на -2 за предел. Такую операцию возможно проводить только с числами, или с переменными тоже? Скажем, lim x*f(x) можно преобразовать в x*lim f(x)?

Ответить
Юрий:

13.10.2014 в 6:08 пп

И не до конца понятно решение третьего предела, предпоследний пункт. Почему предел — единица? При x->2 выражение в знаменателе действительно принимает значение 0, соответственно и в числителе (ln1=0), и мы получаем неопределённость 0/0.

Ответить
1. admin:
  
  13.10.2014 в 7:23 пп
  
  Юрий, здесь как раз применили следствие из 2-го замечательного предела.[mathop {lim }limits_{x to 0} frac{{ln (1 + f(x))}}{{f(x)}} = 1.]здесь[f(x) = {x^2} — 7x + 10]и f(x) стремится к нулю при x, стремящемся к 2.
  За знак предела можно выносить только числа, переменные — нет.
  
  Ответить
  1. Юрий:
    
    13.10.2014 в 7:54 пп
    
    Всё ясно, спасибо!
    
    Ответить

Пределы логарифмов

6 Comments

Добавить комментарий для efewf Отменить ответ

Свежие записи

Это интересно

Навигация по сайту

Рубрики

Свежие записи

Это интересно